1) Časová složka (harmonizace rytmu)
$$ \boxed{;\hat\Psi(t,x)=A,e^{-\alpha t},\sin!\left(\tfrac{355}{113},t+\phi\right)\cdot \nabla_{\hat\pi}P_n;} $$
- A – amplituda (škáluje sílu projekce).
- $\alpha>0$ – tlumení (větší ⇒ rychlejší ustálení).
- $\phi$ – počáteční fáze.
- frekvence je pevně racionální: $\omega=\hat\pi=355/113$.
- $\nabla_{\hat\pi}P_n$ – prostorová část (viz níže).
Stabilita: zůstaň v lineární oblasti ⇒ žádné „přebuzení“:
$$ A,\Vert \nabla_{\hat\pi}P_n\Vert_\infty \ll 1,\qquad \alpha>0. $$
2) Prostorová složka s přesnými nulami
Nechť (racionální „kosinus“ jako konečný Weierstrassův součin)
$$ \boxed{;\cos_N(x)=\prod_{k=1}^{N}!\left(1-\frac{x^2}{\left(k-\tfrac12\right)^2}\right)} $$
→ racionální polynom s přesnými nulami v $x=\pm\frac12,\pm\frac32,\dots,\pm!\left(N-\tfrac12\right)$.
Potom
$$ \boxed{;\Psi_N(x)=\frac{\cos_N(\hat\pi,x)}{,C,[1+\varepsilon,\cos_N(x)]};} $$
- C (normalizace): zvol $\displaystyle C=\max_{x\in I}\big|\cos_N(\hat\pi,x)\big|$ (typicky $I=[-N,N]$) → $|\Psi_N|\le1$. Pro rychlý start můžeš dát prostě $C=1$ (protože $\cos_N(0)=1$).
- $|\varepsilon|<1$ → denominator nikdy nezmizí (bez pólů).
- N: více členů ⇒ ostřejší „kosinus“, více přesných uzlů.
Vlastnosti:
- Zaručené nuly v zadaných bodech (exaktně, i v racionální aritmetice).
- Periodicita ≈ 2 (roste s N), ale bez nutnosti transcendentního π — nosná frekvence je $\hat\pi$.
3) Jak spojit čas a prostor
Celé pole můžeš brát jako separaci proměnných:
$$ \Psi(t,x)=\hat\Psi(t)\cdot \Psi_N(x) $$
kde $\hat\Psi(t)=A,e^{-\alpha t}\sin(\hat\pi t+\phi)$ a $\Psi_N(x)$ jak výše.
Harmonizační kritérium (bez chaosu):
$$ \text{malé změny frekvence } \delta\omega \text{ způsobené seedem } \Delta P \quad\Rightarrow\quad |\delta\omega|<\alpha/2. $$
4) Tipy pro praxi (rychlé předvolby)
- Start: $A=1$, $\alpha=0.1$, $\phi=0$, $N=3$, $\varepsilon=0.1$, $C=1$.
- Chceš ostřejší uzly? Zvyš N.
- Chceš rychlejší uklidnění? Zvyš $\alpha$.
- Chceš menší risk pólů? Sniž $|\varepsilon|$.